4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 重点 难点 重点:等比数列前n项和公式及应用. 难点:等比数列前n项和. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．等比数列的前n项和公式 (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． [方法技巧] 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． 对点训练 1．在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. (3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. [解析]　(1)由题意知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋q＋q2)＝14，解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30. 在本例(1)中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n. 拓展 [方法技巧] 结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键． 对点训练 2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式． [方法技巧] 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列． 对点训练 一、在典题训练中内化学科素养 由于等比数列的前n项和公式本身就是内蕴的方程，高考重视从方程视角来考查等比数列前n项和，主要考查数学运算的核心素养． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝ (　 ) A．120 B．85 C．－85 D．－120 答案：C　 强化拓广探索 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于 (　 ) A．8 B．12 C．16 　 D．24 答案：C　 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16. “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（九） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 (1)一般地，使用等比数列求和公式时需注意： ①一定不要忽略q＝1的情况． ②知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和公比q，可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 2．等比数列的前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 1．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　 ) A．4 B．－4 C．2 D．