4.3.2 第三课时 数列的综合问题（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.3.2　第三课时　数列的综合问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用裂项相消法，错位相减法求和． 2.体会数列与不等式等综合问题． 重点 难点 重点:裂项相消法，错位相减法求和． 难点:放缩法的应用. 1 2 目 录 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 几种常见的裂项方式 [方法技巧] 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点． 对点训练 [方法技巧] 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 对点训练 2．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)，即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1. [方法技巧] 1．数列与不等式的交汇问题的解题策略 (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性． (2)对于与数列有关的不等式的证明问题，常构造函数，利用函数的单调性、最值等来证明，或者灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等． 2．常用的放缩技巧 数列型不等式问题的求解过程中常用到“放缩法”,一般有两种情况：一是先“放缩”再求和；二是先求和再“放缩”.常用的放缩技巧如下. 对点训练 一、在典题训练中内化学科素养 数列求和是高考的热点也是重点,特别是在解答题中常考查分组法求和,裂项相消法求和及错位相减法求和,培养数学运算、逻辑推理的核心素养． 答案：B　 注重实践应用 4.(多选)提丢斯-波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则．它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯提出的,后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个经验公式来表示,即数列{an}：0.4，0.7，1.0，1.6,2.8,5.2,10,19.6，…,表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位)．现将数列{an}的各项乘以10后再减4,得到数列{bn}，可以发现数列{bn} 从第3项起,每一项是前一项的2倍,则下列说法正确的是 (　 ) A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n－2 B．数列{an}的第2 021项为0.3×22 020＋0.4 C．数列{an}的前n项和Sn＝0.4n＋0.3×2n－1－0.3 D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3(n－1)×2n－1 答案：CD　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十一） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 ————————————————————————— 裂项相消法求和 ————————————————————————————— 数列(n为正整数) 裂项方式 (k为非零常数) ＝ 数列(n为正整数) 裂项方式 ＝ ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan [典例1]　已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝－logan，求数列的前n项和Tn. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由a＝9a2a6得a＝9a，∴q2＝. 由条件可知q>0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1， ∴a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. (2)∵an＝，∴bn＝－log ＝2n， ∴＝＝， ∴Tn＝ ＝＝. 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且－＝1. (1)求Sn； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为＝＝a1＋(n－1)， 所以为一个等差数列， 所以－＝＝1，所以d＝2， 故＝n，所以Sn＝n2. (2)因为＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝ 1－＝. ————————————————————————— 错位相减法求和 ————————