4.3.2 第二课时 等比数列的前n项和的应用（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.3.2　第二课时　等比数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用. 3.能用分组转化方法求数列的和. 重点 难点 重点:等比数列的综合问题及分组转化求和. 难点:等比数列的综合问题. 1 2 目 录 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 拓展 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ [方法技巧] 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型,再利用等比数列的相关知识求解． 对点训练 答案：B　 [方法技巧] 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 对点训练 2．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度,共需多少年能换完所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 [方法技巧] 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和． 对点训练 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 (　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 答案：C　 解：(1)由题意,得b1＝a2＝a1＋1＝2 , b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. 发展理性思维 1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为 (　 ) A．978 B．557 C．467 D．979 答案：A　 体察数学文化 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　 ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 答案：B　 4．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了(　 ) A．6里 B．12里 C．24里 D．96里 答案：A　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（十） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 ————————————————————————— 等比数列前n项和在几何图形中的应用 ————————————————————————————— [典例1]　把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了__________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是__________． [答案]　(1)73　(2)　1－n [解析]　(1)设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝. 故题图③中共挖掉了＝73个正方形． (2)由(1)知，第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为