“4翼”检测评价（22）利用导数解决函数的相关问题（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十二） 利用导数解决函数的相关问题 (一)基础落实 1．已知函数f(x)的定义域为[－1, 4]，部分对应值如下表. x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　 ) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：选D　根据导函数图象知，2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示． 由于f(0)＝f(3)＝2,1<a<2，因此y＝f(x)－a有4个零点． 2．函数f(x)＝x－ln x的零点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　由题设，f′(x)＝－＝，且f(x)的定义域为(0, ＋∞)，所以在(0, 3)上f′(x)<0，在(3, ＋∞)上f′(x)>0，即f(x)在(0, 3)上单调递减，在(3, ＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0，又f＝＋1>0，f(e2)＝－2>0，则f(x)在(0, 3)，(3, ＋∞)上各有一个零点，共有2个零点. 故选B. 3．已知f(x)＝，则(　 ) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) 解析：选D　由f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得0＜x＜e，令f′(x)＜0，解得x＞e，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)＞f(3)＞f(2)． 4．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是(　 ) A．(2, ＋∞) B．(－∞， －2) C．(1, ＋∞) D．(－∞， －1) 解析：选B　法一：由题意a≠0，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝.当a>0时，f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝1>0，且x→－∞时，f(x)<0，故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A、C.当a<0时，要使x0>0且唯一，只需f>0，即a2>4，∴a<－2. 法二：f(x)有唯一正零点x0，等价于方程ax3－3x2＋1＝0有唯一正根x0，即a＝－有唯一正根x0. 令g(x)＝－，g′(x)＝，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 又g(－1)＝－2，g(1)＝2，且当x<－1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，∴g(x)的大致图象如图．∴要使直线y＝a与y＝g(x)有唯一交点，且横坐标x0>0，只需a<g(－1)＝－2. 5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台． 解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 答案：6 6．已知函数f(x)＝＋ln x－1(a>0)在定义域内有零点，则实数a的取值范围是________． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)＝＋ln x－1(a>0)在定义域内有零点，所以a＝x－xln x有解，即y＝a与y＝x－xln x的图象有交点．令h(x)＝x－xln x，所以h′(x)＝－ln x，所以h(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以h(x)max＝h(1)＝1.故0＜a≤1. 答案：(0,1] 7．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________． 解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.综上，a＝4. 答案：4 8．用长度为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1.问：