“4翼”检测评价（21）函数的最大(小)值（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（二十一） 函数的最大(小)值 (一)基础落实 1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　 ) A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定 解析：选A　因为M＝m，所以f(x)为常函数，故f′(x)＝0.故选A. 2．函数f(x)＝x3－12x在区间[－3,1]上的最小值是(　 ) A．－10 B．－11 C．－15 D．－18 解析：选B　因为f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，所以当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－2,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(1)＝1－12＝－11，f(－3)＝－27＋36＝9，所以函数f(x)＝x3－12x在区间[－3,1]上的最小值是f(1)＝－11. 3．若函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在区间(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是(　 ) A．(0,3) B．(－3,0) C．(－∞，－3) D．(3，＋∞) 解析：选A　由题得f′(x)＝－3x2＋2mx，令f′(x)＝0，得x＝或x＝0，因为f(x)在区间(0,2)上的极大值为最大值，所以0<<2，所以0<m<3. 4．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　f ′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝ex cos x，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)在上是增函数．∴f(x)的最大值为f＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.故函数f(x)在区间上的值域为. 5．已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　 ) A.－1 B. C. D.＋1 解析：选A　由f(x)＝，得f′(x)＝，当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，得a＝<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意．当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，得a＝－1，符合题意．故a的值为－1.故选A. 6．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________． 解析：由y′＝1－2sin x＝0，结合x∈，得x＝，比较0，，处的函数值，得当x＝时，函数取得最大值，即ymax＝＋2cos＝＋. 答案：＋ 7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________． 解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 8．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1, a)内有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f ′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f ′(x)＞0，∴x＝－1是函数f(x)的极小值点．∵函数f(x)＝3x－x3在区间(a－1, a)上有最小值，即为极小值．∴a－1＜－1＜a，解得－1＜a＜0. 答案：(－1, 0) 9．求下列函数的最值： (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； (2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]． 解：(1)f′(x)＝cos x－sin x. 令f′(x)＝0，即tan x＝1， 且x∈，所以x＝. 又因为f＝， f＝－1，f＝1， 所以当x∈时， 函数的最大值为f＝， 最小值为f＝－1. (2)f′(x)＝－x， 令－x＝0，则＝0， 解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)是减函数， 所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值． 又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)． 所以f(0)＝0为函数在[0,2]上的最小值， f(1)＝ln 2－为函数在[0,2]上的最大值． 10．设函数f(x)＝ex－x2－x. (1)若k＝0，求f(x)的最小值； (2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性． 解：(1)若k＝0，则f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1. (2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域