“4翼”检测评价（19）函数单调性的综合问题（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十九） 函数单调性的综合问题 (一)基础落实 1．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则(　 ) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 解析：选A　f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A. 2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞， － ]∪[， ＋∞) B．[－， ] C．(－∞， －)∪(， ＋∞) D．(－， ) 解析：选B　由题意知，f ′(x)＝－3x2＋2ax－1，因为y＝f(x)在R上是单调函数，且y＝f ′(x)的图象开口向下，所以f ′(x)≤0在R上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，即－≤a≤.故实数a的取值范围是[－， ]． 3．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)内单调递减，则实数m的取值范围是(　 ) A．[－1,1] B．(－1,1] C．(－1,1) D．[－1,1) 解析：选D　f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，由f′(x)<0，得－2<x<2，由题意(2m，m＋1)⊆(－2,2)，所以解得－1≤m<1.故选D. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　 ) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 解析：选C　依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0.所以g(x)在(1,2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1. 5．函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，则(　 ) A．f(1)<f(3)<f(4) 　 B．f(3)<f(1)<f(4) C．f(3)<f(4)<f(1) 　 D．f(4)<f(3)<f(1) 解析：选D　因为当x∈时，f(x)＝x＋sin x，则f′(x)＝1＋cos x>0在上恒成立，所以当x∈时，f(x)＝x＋sin x为增函数．又因为f(x)＝f(π－x)，所以f(3)＝f(π－3)，f(4)＝f(π－4)，易得－<π－4<π－3<1<，所以f(π－4)<f(π－3)<f(1)，即f(4)<f(3)<f(1)． 6．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________． 解析：y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1. 答案：(－∞， －1)∪(1, ＋∞) 7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________． 解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0. 答案：(0, ＋∞) 8．已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是________． 解析：因为f(x)＝x－sin x，所以f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cos x≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等价于f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集为(－∞，3)． 答案：(－∞，3) 9．求函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调区间． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞). f ′(x)＝＋2ax＝. 当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当－1<a<0时，令f′(x)＝0， 解得x＝ 或x＝－(舍去)， 则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围． 解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a， 当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.函数有单调递增区间，即在上，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－. 所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间． (二)综合应用 11．已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项正确的是(　 ) A．f(e)<f(π)<f(2.7) B．f(π)<f(e)<f(2.7) C．f(e)<f(2.7)<f(π) D．f(2.7)<f(e)<f(π) 解析：选D　由已知，得f(x)的定义