“4翼”检测评价（17）简单复合函数的导数（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十七） 简单复合函数的导数 (一)基础落实 1．函数y＝(2 023－8x)3的导数y′＝(　 ) A．3(2 023－8x)2 B．－24x C．－24(2 023－8x)2 D．24(2 023－8x)2 解析：选C　y′＝3(2 023－8x)2×(2 023－8x)′＝3×(2 023－8x)2×(－8)＝－24(2 023－8x)2.故选C. 2．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于(　 ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选A　f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负值舍去)． 3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，则a＝(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由f′(0)＝2，得a－＝2，解得a＝3. 4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝N0e，其中N0为t＝0时该同位素的含量．已知t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为－e－1，则N(120)＝(　 ) A．24贝克 B．24e－5贝克 C．1贝克 D．e－5贝克 解析：选B　由N(t)＝N0e，得N′(t)＝－N0e，因为t＝24时，该同位素含量的瞬时变化率为－e－1，所以N′(24)＝－N0e＝－e－1，解得N0＝24，所以N(120)＝24×e＝24e－5，故选B. 5．已知a>b>0，函数y＝eax在x＝0处的切线与直线2x－by＝0平行，则的最小值是(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　因为y＝eax，所以y′＝aeax.因为切点为(0,1)，所以切线的斜率为k＝a.又因为切线与直线2x－by＝0平行，所以＝a，即ab＝2.所以＝＝(a－b)＋≥2＝4，当且仅当即时，等号成立．所以的最小值是4. 6．已知y＝ln，则y′＝________. 解析：y＝ln＝ln(1＋x2)＝－ln(1＋x2)，所以y′＝－×·(2x)＝－. 答案：－ 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 解析：易知y′＝aeax，k＝ae0＝a， 故a×＝－1，则a＝2. 答案：2 8．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0, 1)处的切线方程为________． 解析：∵f(x)＝ex2，故f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，则f′(0)＝0.故曲线y＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为y＝1. 答案：2xex2 　y＝1 9．求下列函数的导数： (1)f(x)＝； (2)g(x)＝(8－3x)7； (3)p(x)＝5cos(2x－3)； (4)w(x)＝ln(5x＋6)2. 解：(1)∵f(x)＝， ∴f′(x)＝′＝(3x＋2)·(3x＋2)′＝·. (2)∵g(x)＝(8－3x)7， ∴g′(x)＝7(8－3x)6·(8－3x)′＝－21(8－3x)6. (3)∵p(x)＝5cos(2x－3)， ∴p′(x)＝－5sin(2x－3)·(2x－3)′＝－10sin(2x－3)． (4)∵w(x)＝ln(5x＋6)2， ∴w′(x)＝·[(5x＋6)2]′＝·(5x＋6)′＝. 10．已知函数f(x)＝xln 2x. (1)求f(x)的导函数f′(x)； (2)设x0是f(x)的零点，求曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程． 解：(1)由f(x)＝xln 2x，得f′(x)＝ln 2x＋x··2＝ln 2x＋1. (2)易知函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝xln 2x＝0，得2x＝1，x＝，即x0＝.所以f′(x0)＝ln 2x0＋1＝1.所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝x－，即2x－2y－1＝0. (二)综合应用 11．设曲线f(x)＝asin(－x)－ln(x＋1)在(0,0)处的切线方程为y＝x，则a的值为(　 ) A．－2 B．1 C．2 D．3 解析：选A　依题意，曲线f(x)＝－asin x－ln(x＋1)，求导得f′(x)＝－acos x－，则f′(0)＝－a－1，因曲