“4翼”检测评价（16）导数的4则运算法则（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十六） 导数的四则运算法则 (一)基础落实 1．若函数f(x)＝2x＋cos x，则f′(x)＝(　 ) A．2＋cos x B．2x＋sin x C．2＋sin x D．2－sin x 答案：D 2．已知函数f (x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，则f′(2)等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋，将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋，得f′(2)＝. 3．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　 ) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：选B　∵f(x)＝x4－2x3， ∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2. 又f(1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋1.故选B. 4．(多选)已知曲线f(x)＝2x－ln x在点(1，f(1))处的切线与曲线g(x)＝ax2＋(a－1)x－1有且只有一个公共点，则实数a的值可以是(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选AC　由f′(x)＝2－，得f′(1)＝1.而f(1)＝2，∴f(x)＝2x－ln x在(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.又x－y＋1＝0与g(x)有一个公共点，∴ax2＋(a－1)x－1＝x＋1，整理得ax2＋(a－2)x－2＝0.当a≠0时，Δ＝(a－2)2＋8a＝0，可得a＝－2；当a＝0时，显然只有一个解，符合题设．∴a＝0或a＝－2. 5．设函数f(x)＝2x3＋(a＋1)x2＋2ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　 ) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x 解析：选A　由f(x)＝2x3＋(a＋1)x2＋2ax，函数为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋1)(－x)2＋2a(－x)＝－[2x3＋(a＋1)x2＋2ax]，故a＋1＝0，即a＝－1.所以f(x)＝2x3－2x.所以f′(x)＝6x2－2，f(0)＝0，f′(0)＝－2.所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线斜率为－2，切线方程为y＝－2x. 6．设f(x)＝ex＋xe＋ea，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝(ex)′＋(xe)′＋(ea)′＝ex＋exe－1. 答案：ex＋exe－1 7．设某质点的位移x m与时间t s的关系是x＝t2－2cos t，则质点在第s时的瞬时速度为________ m/s. 解析：由x＝t2－2cos t，得x′＝2t＋2sin t．所以当t＝时，x′＝π＋2. 答案：π＋2 8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f ′(1)＝________. 解析：因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et， 所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x.所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1. 答案：2e－1 9．求下列函数的导数： (1)y＝－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝；(4)y＝. 解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－. (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1. (3)y′＝＝. (4)y′＝ ＝. 10．已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x. (1)求曲线C在点(1,2)处的切线方程； (2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，则f′(1)＝4，所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. (2)因为f′(x)＝3x2＋1≥1，即tan α≥1，又因为0≤α<π，所以≤α<，故α的取值范围是. (二)综合应用 11．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　 ) A．212 B．29 C．28 D．26 解析：选A　因为f′(x)＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212. 12．(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的导函数为f′(x)，则(　 ) A．