“4翼”检测评价（11）数列的综合问题（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十一） 数列的综合问题 1．若数列{an}的通项an＝n·2n，则其前n项和Sn为(　 ) A．n·2n＋1 B．n·2n＋1－2 C．(n－1)·2n＋1＋2 D．n·2n＋1＋2 解析：选C　由题可知，Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n,2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝－2＋(1－n)·2n＋1.∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2. 2．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　 ) A. B. C．1 D. 解析：选B　∵对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)， ∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B. 3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，设bn＝，那么数列{bn}的前n项和为(　 ) A．4 B．4 C．1－ D.－ 解析：选A　∵an＝＝＝， ∴bn＝＝＝4.∴Sn＝ 4 ＝4. 4．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4，则数列{an＋bn}的前n项和为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q，则由b2＝3，b3＝9，a1＝b1， 可得q＝＝3，b1＝a1＝1， 又a14＝b4，即1＋13d＝27，所以d＝2， 所以数列{an＋bn}的前n项和为n＋·2＋＝n2＋. 答案：n2＋ 5．已知等比数列{an}各项都是正数，Sn为其前n项和，a3＝8，S3＝14. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{an－bn}是首项为1，公差为3的等差数列,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 解：(1)等比数列{an}中，a3＝8，S3＝14， 可列方程组 ∵{an}各项都是正数，∴q＞0， 解得∴an＝2n. (2)由题意知an－bn＝3n－2，即2n－bn＝3n－2， ∴bn＝2n－3n＋2. ∴Tn＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2. 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝11，S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设该等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意可知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1，所以bn＝(－1)n· ＝(－1)n··， 所以Tn＝. 当n为奇数时，Tn＝； 当n为偶数时，Tn＝. 所以Tn＝－＋(－1)n. 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝n－n2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(k∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn.若T2n＝an－＋b对n∈N*恒成立，求实数a，b的值． 解：(1)①当n＝1时，由2S1＝2a1＝1－12得a1＝0； ②当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝n－n2－[(n－1)－(n－1)2]＝2－2n，则an＝1－n(n≥2)，显然当n＝1时也适合上式，∴an＝1－n(n∈N*)． (2)∵＝＝－， ∴T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(20＋2－2＋…＋22－2n)＋＋…＋＝＋－ ＝－n－. ∵T2n＝an－＋b对n∈N*恒成立， ∴a＝－，b＝. 8．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S1，S3，S2成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题． 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知________． (1)判断S1，S2，S3的关系； (2)若a1－a3＝3，设bn＝|an|，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<. 解：(1)由S1，S3，S2成等差数列，得S1＋S2＝2S3，即a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由题意知a1≠0，所以2q2＋q＝0. 又q≠0，所以q＝－. 综上可知缺少的条件是q＝－. 因为q＝－，所以S2＝a1＋a2＝a1－a1＝a1，S3＝a1＋a2＋a3＝a1－a1＋a1＝a1，所以S1＋