“4翼”检测评价（10）等比数列的前n项和的应用（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十） 等比数列的前n项和的应用 (一)基础落实 1．某森林原有木材量为a m3，按每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量(　 ) A．a(1＋25%)5 m3 B．a(1＋25%)4 m3 C．4am3 D．a(1＋25%)6 m3 解析：选A　森林中原有木材量为a m3，一年后为a(1＋25%) m3，两年后为a(1＋25%)2 m3，…，五年后为a(1＋25%)5 m3. 2．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝. 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且a≠1的常数)，则数列{an}(　 ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，可能是等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 解析：选B　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝S1＝a－1，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，故数列{an}一定是等比数列． 4．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　 ) A．an＋1＝an＋150　　 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 解析：选A　依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150. 5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　 ) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析：选C　根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴≥200，∴2n≥201，结合n∈N，解得n≥8，即至少需要8秒钟细菌将病毒全部杀死，故选C. 6.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 解析：由题意，正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝. 答案： 7．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________． 解析：通项公式an＝＋＋…＋＝＝1－，∴前n项和Sn＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋. 答案：n－1＋ 8．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________. 解析：当n≥2时，因为Sn＝an＋①，所以Sn－1＝an－1＋②，①－②得an＝an－an－1，即an＝－2an－1. 又因为S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1.所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．所以an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 9．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝211－2＋55 ＝211＋53＝2 101. 10．某工厂2023年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以2023年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2033年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元)．(参考数据：1.29≈5.160，1.210≈6.192,1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x， 整理得an＋1－5x＝(an－5x)， ＝，又a1－5x＝1 000－5x＞0， ∴数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x