“4翼”检测评价（8）等比数列的性质及其应用（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（八） 等比数列的性质及其应用 (一)基础落实 1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝. 2．已知等比数列{an}中，a1a8a15＝27，则a3·a13＝(　 ) A．3 B．6 C．9 D．18 解析：选C　由题意知{an}为等比数列，故a1a8a15＝(a8)3＝27，∴a8＝3，a3·a13＝(a8)2＝9，故选C. 3．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　 ) A．10n B．n10 C．100n D．n100 解析：选A　设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n. 4．在数列{an}中，“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　易知“{an}是等比数列”能推出“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”，当n≥2时，若an＝an－1＝an＋1＝0，满足a＝an－1an＋1，此时{an}不是等比数列．故“a＝an－1an＋1对任意n≥2且n∈N*都成立”是“{an}是等比数列”的必要不充分条件． 5．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　 ) A．1 B. C．－ D．－ 解析：选D　因为{an}是等比数列，所以a2·a6·a10＝a＝3，所以a6＝.因为{bn}是等差数列，所以b1＋b6＋b11＝3b6＝7π，所以b6＝.所以tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故选D. 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 答案：1 536 7．在等比数列{an}中，an>0，a3a4＝4, 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6的值为________． 解析：由题可得，a1a6＝a2a5＝a3a4＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a6＝log2(a1·a2·…·a6)＝log2(a3a4)3＝log243＝6log22＝6. 答案：6 8．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________． 解析：已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)． 答案： 9．已知等比数列{an}满足a1＋a6＝11，a3·a4＝，公比q∈(0,1)．求{an}的通项公式． 解：由a1＋a6＝11，且a3·a4＝a1·a6＝， 解得a1＝，a6＝或a1＝，a6＝.又公比q∈(0,1)，所以数列{an}为递减数列． 所以a1＝，a6＝，则＝·q5，得q＝.所以an＝·n－1＝·26－n.故数列{an}的通项公式为an＝·26－n. 10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p. 解：因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列， 所以当n≥2时，有(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)， 将cn＝2n＋3n代入上式得， [2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]·[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0， 解得p＝2或p＝3. (二)综合应用 11．(多选)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是(　 ) A．a8>0 B．b8<0 C．a7>a8 D．b7>b8 解析：选BD　因为等比数列{an}的公比q＝－，则a7＝a1，a8＝－a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小