“4翼”检测评价（4）等差数列的性质及其应用（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（四） 等差数列的性质及其应用 (一)基础落实 1．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　 ) A．32 B．－32 C．35 D．－35 解析：选C　设等差数列的公差为d，由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35. 2．在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整数．由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am.故“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件． 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　 ) A. B．± C．－ D．－ 解析：选D　由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan＝－. 4．各项均为正数的等差数列{an}中，3a6－a＋3a8＝0，则a7＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　∵3a6－a＋3a8＝0，∴由等差数列的性质，得6a7－a＝0，∵等差数列{an}的各项不为零，∴a7＝6，故选C. 5．(多选)已知各项均为正数的等差数列{an}递增，且a5＝2，则(　 ) A．公差d的取值范围是 B．2a7－a9＝2 C．a3·a7>a4·a6 D.＋的最小值为1 解析：选AB　由题意得d>0，a1>0，而a5＝2，∴2－4d>0，解得d<.∴d∈，故A正确.2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确．由a3·a7－a4·a6＝(2－2d)(2＋2d)－(2－d)(2＋d)＝－3d2<0，可知a3·a7<a4·a6，故C错误．由a1＋a9＝2a5＝4，得(a1＋a9)＝1.故＋＝(a1＋a9)＝＋＋≥＋2＝1，当且仅当a1＝a9时取到等号，但a1≠a9，故不能取等号，故D错误． 6．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为________． 解析：设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 答案：0 7．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________. 解析：因为数列{an}为等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 答案：2 8．若三个数成等差数列，且它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，则 解得或 ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1，∴这三个数的积为－21. 答案：－21 9．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)设等差数列的公差为d，∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d.∴d＝2. ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 10．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温． 解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，设公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. (二)综合应用 11．若要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列，则填入标有※的空格的数是(　 ) ※ 74 2y 186 y 103 0