第2章 6.1 第一课时 函数的单调性与导数（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 6.1　函数的单调性 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．    重点 难点 重点：函数单调性与导数关系的应用． 难点：理解函数的单调性与导数的关系. 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系： (1)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数___________，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间上，函数y＝f(x)的导数___________，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减． (3)若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)__________ ；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)__________ ． f′(x)＞0 f′(x)＜0 单调递增 单调递减 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．也就是说，在某区间上f′(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． (2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题 ①定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． ②注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． ③单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开. 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　 ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案：D 解析：∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，故选D. 答案：B 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　 ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 答案：B 解析：由题图可知，函数f(x)在(1,5)内单调递减，则在(1,5)内有f′(x)<0，故f′(3)<0. 利用导数判断或证明函数的单调性 第一课时　函数的单调性与导数 [方法技巧] 利用导数判断或证明函数单调性的思路 [对点训练] 1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　 ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 答案：A 解析：∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 利用导数求函数的单调区间 [解]　(1)f′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 由f′(x)>0，得x<2或x>4；由f′(x)<0，得2<x<4. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)； 单调递减区间是(2,4)． [方法技巧] 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求导数y′＝f′(x)． (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．　 答案：C 由导数的信息画函数的大致图象 [典例3]　画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象． [解]　由题可知函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)． 由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f ′(x)＜0，得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的单调递减区间是(－2,3)． 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)． [方法技巧] 通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负. 　　 [对点训练] 5．已知导函数f′(x)的下列信息： 当2＜x＜3时，f′(x)＜0； 当x＞3或x＜2时，f′(