第2章 5 简单复合函数的求导法则（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 §5　简单复合函数的求导法则 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握复合函数的求导法则． 2．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 重点 难点 重点：利用复合函数的求导公式求导数． 难点：对复合函数求导公式的理解. 1．复合函数的概念 对于两个函数_________和________________，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_________和_________的复合函数，记作___________，其中u为中间变量． y＝f(u) u＝φ(x)＝ax＋b y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为 yx′＝__________＝_____________，其中u＝φ(x)． [f(φ(x))]′ f′(u)φ′(x) 使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)′＝2cos 2x，不能得出(sin 2x)′＝cos 2x. 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　 ) A．y＝un，u＝x2－1　　　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 解析：由复合函数求导法则知A正确． 2．设函数f(x)＝(1－2x)10，则f′(1)＝(　 ) A．0　　　　 B．－1 C．－20　　　　 D．20 答案：D 解析：因为f′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20. 复合函数的导数 [方法技巧]　求复合函数的导数的步骤 [对点训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2；(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b)． 解：(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x. 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [方法技巧] (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导．　 复合函数求导的综合应用 [方法技巧] 求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简单．　 答案：D 4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________. 答案：1－ln 2 答案：0　－1 答案：C 强化拓广探索 4．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x2＋1，h(x)＝ln(x＋2)，φ(x)＝cos x(x∈(0，π))的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案：C ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（十八）” (单击进入电子文档) 41 谢谢观看 → → (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． ————————————————————————————— ————————————————————————————————— [典例1]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos x2； (3)y＝sin；(4)y＝. [解]　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin x2. (3)令u＝2x－，则y＝sin u， 所以y′x＝y′u·u′x＝cos u·2＝2cos. (4)令u＝1＋x2，则y＝u， 所以y′x＝y′u·u′x＝