第2章 4 导数的四则运算法则（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 §4　导数的四则运算法则 明学习目标 知结构体系 课 标 要 求 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用． 重 点 难 点 重点：导数的四则运算及运用． 难点：利用导数四则运算解决综合问题. 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) 1．公式推广 函数和、差导数可以推广到n个函数 设f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x处可导，则[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)． 2．结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”． 1．设y＝－2exsin x，则y′等于(　 ) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案：D 解析：∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)． 答案：C 3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a＝________. 利用导数四则运算法则求导数 [典例1]　求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xtan x. [方法技巧] 求函数导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 导数四则运算法则的应用 [典例2]　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)． 即7x＋y－3＝0. [方法技巧] 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 答案：B 答案：D 导数四则运算法则的实际应用 [方法技巧] 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫． 一、在典题训练中内化学科素养 从近几年高考的考查情况来看，以导数计算为考查指向的考题更多的是以切线的形式来考查，强调导数几何意义的同时还考查了导数的运算及方程、不等式等. 对数学运算核心素养的要求较高． 答案：C 2．(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [内化素养/数学运算] 利用导数四则运算法则求导及解一元二次方程和不等式．求商数的导数时，分母需要平方． 答案：A 答案：BC 注重实践应用 3．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为________m/s. 答案：ABC 5．请写出与曲线f(x)＝sin x在(0,0)处具有相同切线的另一个函数：____________________. 解析：∵y＝sin x的导函数为y′＝cos x，又y＝sin x过原点， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线斜率k＝cos 0＝1， ∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x； 所求曲线只需满足过点(0,0)且在x＝0处的导数值y′＝1即可， 如y＝x3＋x， ∵y′＝3x2＋1，又y＝x3＋x过原点， ∴y＝x3＋x在原点处的切线斜率k＝1， ∴y＝x3＋x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x. 答案：y＝x3＋