第2章 3 导数的计算（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 §3　导数的计算 1．导函数 如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ _________________，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为________ 的导函数，也简称为_______，有时也将导数记作y′. y＝f(x) 导数 2．导数公式表 0 cos x αxα－1 －sin x axln a ex 续表 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． 答案：D 答案：D 答案：C 解析：依题意f ′(x)＝3x2，故3x＝12，解得x0＝±2. 用导数公式求函数的导数 [方法技巧] 求简单函数导函数的两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 利用导数公式研究切线问题 [典例2]　过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率． [解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0, ex0)， 则过该切点的直线的斜率为ex0， 所以切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)． 因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1. 所以切点为(1, e)，切线斜率为e. [拓展] 1．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 2．已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. [方法技巧] 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． [对点训练] 2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 利用导数的几何意义求参数 [答案]　C [方法技巧] 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 答案：D 5．已知直线(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的一条切线，求底数a的值． 解：设切点坐标为(x0，ax0)，因为y′＝axln a，所以切线斜率k＝ax0ln a， 切线方程为y－ax0＝(ax0ln a)(x－x0)， 即(ax0ln a)x－y－x0ax0ln a＋ax0＝0， 因为已知切线的方程为(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0， 所以ax0ln a＝8ln 2，x0ax0ln a＝8ln 2，ax0＝4， 解得a＝4，x0＝1.综上，a＝4. 发展理性思维 1．设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 022(x)＝(　 ) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 答案：C 解析：∵f1(x)＝sin x，∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x) ＝cos x，f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f4(x)＝f′3(x) ＝(－sin x)′＝－cos x，f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x， 由此可知fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x. 答案：A 答案：B 5．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值．则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________. 答案：e－1 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（十六）” (单击进入电子文档) 37 谢谢观看 明学习目标 知结构体系 课 标 要 求 1.能根据导数定义求函数