第1章 3.2 第二课时 等比数列的前n项和的应用及数列求和（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 目 录 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 第二课时　等比数列的前n项和的应用及数列求和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握四种数列求和的方法． 重点 难点 重点：数列的前n项和． 难点：等比数列前n项和的实际应用. [方法技巧] 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和．　　 答案：B　 [方法技巧] 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和．　　 [对点训练] 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 答案：C　 [方法技巧] 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．　　 [方法技巧] 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为(　 ) A．978 B．557 C．467 D．979 答案：A　 答案：4 答案：B　 4．(多选)提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则．它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯提出的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个经验公式来表示，即数列{an}：0.4，0.7，1.0，1.6,2.8,5.2,10,19.6，…，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位)．现将数列{an}的各项乘以10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn} 从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法正确的是(　 ) A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n－2 B．数列{an}的第2 021项为0.3×22 020＋0.4 C．数列{an}的前n项和Sn＝0.4n＋0.3×2n－1－0.3 D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3(n－1)×2n－1 答案：CD　 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（十）” (单击进入电子文档) 47 谢谢观看 ———————[题点一]—————————————————— 等比数列前n项和的实际应用 ————————————————————————————— [典例1]　一个皮球从距地面为H的地方释放，经地面反弹最后上升至处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，求H的值． [解]　根据题意，皮球第n次接触地面至第n＋1次接触地面的运动轨迹长度满足一个以首项a1＝H，公比q＝的等比数列{an}， 故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为： a1＋a2＋a3＋a4＋H＝＋H＝H， 由题可知，H＝10，解得H＝. [对点训练] 1.如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形的面积为(　 ) A. B． C. D． 解析：观察题图可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列， ∴an＝4×n－1＝n－2，∴第2 020个三角形的面积为a2 020＝2 018＝. —————————————————————————— 分组法求和 ————————————————————————————— [典例2]　在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解]　(1)设等差数列{an}的