第1章 2.1 第二课时 等差数列的性质及应用（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 第二课时　等差数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 重点 难点 重点：等差数列的实际应用及其性质的应用． 难点：等差数列性质的应用. 1．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为_____数列； (2)当d＜0时，数列{an}为_____数列； (3)当d＝0时，数列{an}为____数列． 递增 递减 常 3．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) (2)项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝_______. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝____. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. ap＋aq 2ak 4．等差数列的性质 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an＋an－k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C　 解析：a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. 2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝(　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：B　 解析：由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 3．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　 ) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 答案：D　 解析： (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19，即数列{an＋bn}是公差为19的等差数列． 4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列． 答案：3d 解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d. [对点训练] 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________． 答案：3 [典例2]　(1)若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75； (2)等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d； (3)已知{an}是等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值． [方法技巧] 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇔am＋an＝ak＋al＝2as.　　 [对点训练] 3．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　 ) A．10 B．15 C．20 D．40 答案：B　 4．(多选)已知递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　 ) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 答案：BD　 解析：设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0.∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误．又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C错误． [典例3]　在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数． [方法技巧