第1章 1.2 数列的函数特性（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 01 02 03 目 录 落实必备知识 强化关键能力 浸润学科素养和核心价值 2 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解数列可视作定义在正整数集(或其子集)上的函数概念，会画数列的图象． 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性． 重点 难点 重点：掌握数列的函数特性． 难点：判断数列的增减性. 1．2　数列的函数特性 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在__________ (或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1,2,3，…这个图象也称为数列的图象． 正整数集 2．数列的单调性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即________，那么这个数列叫作_____数列 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即________，那么这个数列叫作______数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作______ an＋1>an 递增 an＋1<an 递减 常数列 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列．(　 ) (2)数列是特殊的函数，因此其图象是连续不断的曲线．(　 ) (3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 答案：A 解析：由条件得an＋1－an＝3>0，可知an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 3．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 答案：C　 解析：an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 4．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为(　 ) A．5 B．11 C．10或11 D．36 答案：D　 解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，an取得最大值36. [解]　图象如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． [方法技巧] 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　 [对点训练] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性． 解：由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋，∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…，则数列{an}的图象如图所示，所以该数列既不是递增的，也不是递减的． [方法技巧] 作差法比较an＋1－an与0的关系的策略 若an＋1－an>0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an<0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是常数列．　　 [方法技巧] 函数思想方法在数列问题中的应用 (1)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an与an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决． (2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．　 [对点训练] 3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　 ) A．(－∞，3] B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，6) 答案：D　 解析：依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立．注意到当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 答案：B　 答案：B　 2．设函数f(x)定义如下，数列{xn}满足x0＝5，且对任意自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 005的值为(　 ) A.1 B．2 C．4 D．5 x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 答案：B　 解析：由对任意自然数均有xn＋1＝f(xn)，且x0＝5，得x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，…，所以数列{xn}是以4项为一个周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5.所以x2 005＝x