“4翼”检测评价（16）导数的计算（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

3 / 4 四翼检测评价（十六）导数的计算 (一)基础落实 1．(多选)下列结论正确的是(　 ) A．若y＝，则y′＝－ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝，则y′＝－2x－3 D．若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析：选ACD　选项A，y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠；选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴选项A、C、D正确． 2．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　 ) A．f′(2)<f′(3) B．f′(2)>f′(3) C．f′(2)＝f′(3) D．不能确定 解析：选A　∵f(x)＝，∴f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，f′(3)＝－，即f′(2)<f′(3). 故选A. 3．若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex 解析：选C　对于A，f′(x)＝2x，为奇函数；对于B，f′(x)＝－sin x，为奇函数；对于C，f′(x)＝cos x，为偶函数；对于D，f′(x)＝ex，既不是奇函数也不是偶函数．故选C. 4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　 ) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：选A　由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)．∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1.∴切点为(1,1)．∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. 5．(多选)若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为(　 ) A．0 B．2 C. D. 解析：选AD　由曲线C1：y＝x2，得y′＝2x，由曲线C2：y＝x3，得y′＝3x2. 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3， ∴2a＝3m2，a2＝2m3.∴m＝0或m＝.∴直线l的斜率为0或. 6．已知f(x)＝2x，则f ′＝________. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f ′＝f ′(log2e)＝2log2e ln 2＝eln 2. 答案：eln 2 7．若曲线y＝xα(α∈Q＋)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________. 解析：y′＝αxα－1，所以当x＝1时，y′＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过原点(0,0)，所以α＝2. 答案：2 8．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________. 解析：由f′(x)＝0，g′(x)＝，x>0,2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1. 答案：1 9．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝－2sin·； (4)y＝log2x2－log2x. 解：(1)y′＝()′＝′＝x－1＝x－. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)∵y＝－2sin＝2sin＝2sincos＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. 10．求过(1,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程． 解：∵点P(1,0)不在曲线y＝x3上， ∴点P(1,0)不是切点．设切点是(x0，x)， 由y＝x3，可得y′＝3x2，∴k＝3x＝， 即2x－3x＝0，解得x0＝0或x0＝. ∴切线的斜率k＝0或k＝. ∴切线的方程是y＝0或y＝(x－1)， 即y＝0或27x－4y－27＝0. (二)综合应用 11．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　 ) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 解析：选A　因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]， ∴l的倾斜角的斜率为[－1,1]． 故倾斜角的范围为∪. 12．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则