“4翼”检测评价（12）数学归纳法（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（十二）数学归纳法 (一)基础落实 1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　 ) A．f(n)＋n＋1　　　 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C. 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　 ) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋) 解析：选B　因为n为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　 ) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 解析：选B　根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12， n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2. 4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　 ) A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1 C．f(k＋1)＝f(k)＋k D．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 解析：选C　当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)． 5．用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋，则当n＝k＋1时式子应当整理成________． 解析：当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3 ＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3 ＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)． 答案：42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2) 6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1. 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n∈N＋，等式成立． 上述证明中的错误是________． 解析：由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的． 答案：没有用归纳假设 7．用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝na1＋. 证明：①当n＝1时，左边＝S1＝a1， 右边＝1×a1＋＝a1，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1)时，等式成立， 即Sk＝ka1＋成立． 那么，当n＝k＋1时， Sk＋1＝Sk＋ak＋1 ＝＋{a1＋[(k＋1)－1]d} ＝(k＋1)a1＋ ＝(k＋1)a1＋ ＝(k＋1)a1＋. 这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据①②，可知等式对任意正整数n都成立． 8．已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋，证明：an＜. 证明：①当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立． 因为当x∈时，0＜f(x)≤， 所以0＜a2＝f(a1)≤＜. 故n＝2时，原不等式也成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时， 不等式0＜ak＜成立． 因为f(x)＝x－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈时，f(x)为增函数． 所以由0＜ak＜≤， 得0＜f(ak)＜f. 于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n∈N＋，不等式an＜成立． (二)综合应用 9．用数学归纳法证明(n＋1)(