“4翼”检测评价（10）等比数列的前n项和的应用及数列求和（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（十）等比数列的前n项和的应用及数列求和 1．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝. 3．若数列{an}的通项an＝n·2n，则其前n项和Sn为(　 ) A．n·2n＋1 B．n·2n＋1－2 C．(n－1)·2n＋1＋2 D．n·2n＋1＋2 解析：选C　由题可知，Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n,2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝－2＋(1－n)·2n＋1.∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2. 4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　 ) A. B． C．1 D． 解析：选B　∵对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)， ∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B. 5．若数列{an}满足aan＋1n＝m(n∈N＋，m为常数)，则称数列{an}为等幂数列，已知数列{an}为等幂数列，且a1＝2，a2＝4，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 021＝(　 ) A．6 060 B．6 062 C．6 064 D．6 066 解析：选B　依题意aa21＝24＝m，aan＋1n＝16，an＋1ln an＝ln 16，an＋1＝，a3＝＝log416＝2，a4＝＝4，…，所以n为奇数时an＝2; n为偶数时an＝4，所以S2 021＝1 010×(2＋4)＋2＝6 062. 故选B. 6. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 解析：由题意，正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝. 答案： 7．已知等比数列{an}各项都是正数，Sn为其前n项和，a3＝8，S3＝14. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设{an－bn}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 解：(1)等比数列{an}中，a3＝8，S3＝14， 可列方程组 ∵{an}各项都是正数，∴q＞0， 解得∴an＝2n. (2)由题意知an－bn＝3n－2，即2n－bn＝3n－2， ∴bn＝2n－3n＋2. ∴Tn＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2. 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝11，S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设该等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意可知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1，所以bn＝(－1)n· ＝(－1)n··， 所以Tn＝. 当n为奇数时，Tn＝； 当n为偶数时，Tn＝. 所以Tn＝－＋(－1)n. 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝n－n2(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(k∈N＋)，数列{bn}的前n项和为Tn.若T2n＝an－＋b对n∈N＋恒成立，求实数a，b的值． 解：(1)①当n＝1时，由2S1＝2a1＝1－12得a1＝0； ②当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝n－n2－[(n－1)－(n－1)2]＝2－2n，则an＝1－n(n≥2)，显然当n＝1时也适合上式，∴an＝1－n(n∈N＋)． (2)∵＝＝－， ∴T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(20＋2－2＋…＋22－2n)＋＋…＋＝＋－ ＝－n－.