“4翼”检测评价（9）等比数列的前n项和公式（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1 / 6 “四翼”检测评价（九）等比数列的前n项和公式 (一)基础落实 1．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为(　 ) A．an－1 B．an C．(n－1)a D．na 解析：选D　既是等差数列又是等比数列的数列为常数列，故Sn＝na. 2．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　 ) A. B． C．15 D．40 解析：选C　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍去)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15.故选C. 3．在等比数列{an}中，已知a1＝，an＝，q＝，则为(　 ) A. B． C．3 D．6 解析：选B　∵在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，∴＝×n－1＝，∴n＝4.∴＝＝＝a1＝×＝. 4．设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S3＋S6＝0，则＝(　 ) A．－512 B．－8 C．－2 D．－1 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由已知q≠1，因为S3＋S6＝0，所以＋＝0，解得q3＝－2，所以＝＝q9＝(q3)3＝－8. 故选B. 5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　 ) A．2 B． C. D．3 解析：选B　由等比数列的性质，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. 6．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N＋)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝______. 解析：由题设可得an＝2n，故＝2(n≥2)，故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，故S4＝＝30. 答案：30 7．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·2n－1＋1，则实数t的值为________． 解析：Sn＝t·2n－1＋1＝·2n＋1，因为等比数列{an}的前n项和Sn＝－A·qn＋A，其中q为公比，所以＋1＝0，所以t＝－2. 答案：－2 8．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Tn，T99＝77，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________. 解析：设S1＝a1＋a4＋…＋a97， S2＝a2＋a5＋…＋a98， S3＝a3＋a6＋…＋a99， 由等比数列前n项和的性质可得， S2＝2S1，S3＝4S1，又S1＋S2＋S3＝T99＝77， ∴7S1＝77，解得S1＝11. 从而S3＝4S1＝44. 答案：44 9．已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，试用q表示{an}的前n项和． 解：当q＝1时，∵3a1＝1－q＝0， ∴a1＝0与{an}是等比数列矛盾， ∴q≠1，即＝. 又∵等比数列的前n项和公式为 Sn＝＝－·qn＋， ∴Sn＝－qn＋. 10．在等比数列{an}中，a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝a2n－1－a2n，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 则由得 解得则an＝a1qn－1＝2n－3. (2)bn＝a2n－1－a2n＝－22n－3＝－22n－4， 故数列{bn}是首项为－，公比为4的等比数列， 故数列{bn}的前2n项和T2n＝＝ (1－42n)． (二)综合应用 11．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　 ) A．{an}为递增数列 B.＝9 C．S3 ，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 解析：选BD　由a6＝8a3，可得a3q3＝8a3，则q＝2，当首项a1＜0时，可得{an}为递减数列，故A错误；由＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S3×S9，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)显然不成立，故S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，所以Sn＝2an－a1，故D正确． 12．(多选)已知数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列选项正确的是(　 ) A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等差数列 C．an＝2n＋1－3 D．Sn＝2n＋2－3n－4 解析：选ACD　由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3)．因为a1＝1，可得a1＋3＝4，所以数列{an＋3}是等比数列，可得an＋3＝4×2n