“4翼”检测评价（3）等差数列的概念及其通项公式（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（三）等差数列的概念及其通项公式 (一)基础落实 1．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D　∵a4－a2＝2d＝6－4＝2，∴d＝1. 2．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　 ) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：选ABD　根据等差数列的定义，可得A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列． 3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　 ) A．15 B．22 C．7 D．29 解析：选A　设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　 ) A．49 B．50 C．51 D．52 解析：选D　∵an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋，∴a101＝2＋＝52. 5．在一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为(　 ) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 解析：选C　设该等差数列为{an}，公差为d(d∈Z)，则a1＝23，an＝23＋(n－1)d， 由题意可知即解得－<d<－.因为d是整数，所以d＝－4. 6．在等差数列{an}中，若a2＝4，a5＝10，则公差d＝________. 答案：2 7．已知等差数列{an}的前3项依次是－1，a－1,1，则a＝________，通项公式为an＝________. 答案：1　n－2 8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________． 解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 答案：5 9．在等差数列{an}中： (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：(1)由题意知解得 (2)由题意知解得 ∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17. 10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由＝＝＝＝＝＋，得－＝，n∈N＋，故数列是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. (二)综合应用 11．(多选)设{an}是等差数列，下列结论不正确的是(　 ) A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0 B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0 C．若0<a1<a2，则a2> D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0 解析：选ABD　若a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，则a1＋a2>0，而a2＋a3<0，故A、B错误；对于C，设{an}的公差为d，则d>0，故an>0，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，故a>a1a3，即a2>，C正确；若a1＝－1，a2＝0，a3＝1，则a2－a1＝1>0，a2－a3＝－1<0，则(a2－a1)(a2－a3)<0，故D错误． 12．写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列{an}的通项公式an＝________. 解析：前3项之和小于第3项，则a1＋a2<0⇒2a1＋2<0⇒a1<－1，设a1＝－2，d＝2，则an＝2n－4. 答案：2n－4(答案不唯一) 13．在50到350之间，末位数字是3的自然数的个数有________． 解析：在50到350之间，末位数字是3的自然数有53,63，…，343，构成以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列，由an＝a1＋(n－1)d，可得项数n＝＋1＝＋1＝30. 答案：30 14．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形(图2)，再分别连接图2中间的一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(图3)．依此类推，第n个图中原三角形被剖分为an个三角形． (1)求数列{an}的通项公式； (2