“4翼”检测评价（2）数列的函数特性（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（二）数列的函数特性 (一)基础落实 1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　 ) A．1，，，，… B．sin，sin，sin，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 解析：选C　A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C. 2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：选A　an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列． 3．已知数列{an}是递增数列，且其通项公式为an＝n2＋λn，则实数λ的取值范围是(　 ) A. B．[0，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析：选D　法一：由{an}是递增数列且an＝n2＋λn，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ>0对n∈N＋恒成立，所以λ>[－(2n＋1)]max，即λ>－3. 法二：由{an}是递增数列得－<，解得λ>－3. 4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　 ) A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在 解析：选A　∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1，∴an＋1<an，∴此数列为递减数列，故最大项为a1. 5．(多选)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，数列{an}的前n项积为Tn，则(　 ) A．a5＝ B．an＋3＝an C．T2 020＝－2 D．T2 020＝2 解析：选ABC　由题意知a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，a5＝1－＝，a6＝1－2＝－1.由此可知数列{an}是以3为周期的周期数列．即an＋3＝an，故T2 020＝a1·a2·a3·…·a2 019·a2 020＝(a1a2a3)673·a2 020＝－a2 020＝－a1＝－2. 6．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列． 解析：＝·＝<1.∵k>0，∴an>0， ∴an＋1<an，∴{an}是递减数列． 答案：递减 7. 已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 解析：因为an＝19－2n，且an>0，于是有19－2n>0，解得n<，而n∈N＋，则nmax＝9，所以符合条件的最大正整数n的值为9. 答案：9 8．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是第________项． 解析：an＝＝，当n>5且n∈N＋时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N＋时，an<0，且数列递减．故当n＝6时，an最大． 答案：6 9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，又n∈N＋，∴n＝{2,3}，即数列中有两项是负数． (2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝.又n∈N＋，∴n＝2或3时，an有最小值且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 法二：设第n项最小，由 得 解得2≤n≤3，∴n＝2或3，即a2＝a3时最小， 则a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 10．已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝(a为常数)． (1)若对于任意的x1≠－1，有xn＋2＝xn对于任意的n∈N＋都成立，求a的值； (2)当a＝1时，若x1>0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由． 解：(1)∵xn＋2＝＝＝＝xn， ∴a2xn＝(a＋1)x＋xn⇒(a2－1)xn＝(a＋1)x，令n＝1，得(a2－1)x1＝(a＋1)x， 要该式对任意的x1≠－1都成立，∴解得a＝－1. (2)数列{xn}是递减数列． ∵x1>0，xn＋1＝，∴xn>0(n∈N＋)． 又∵xn＋1－xn＝－xn＝－<0(n∈N＋)，故数列{xn}是递减数列． (二)综合应用 11．(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　 ) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a不是数列{an}中的项 D．当a<2时，{an}为递增数列 解析：选ABCD　当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中