专题07 将军饮马与蚂蚁爬行问题【考题猜想，20题2种题型】-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题07 将军饮马与蚂蚁爬行问题（20题2种题型） 一、蚂蚁爬行问题（共4小题） 1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，是用棱长为的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点出发沿着新几何体的表面爬行到顶点的最短路程是多少？ 2．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，有一个高为，底面周长为的圆柱形水桶，水桶的底端处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角处去吃一滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线长． 3．（2021秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm (1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？ (2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号) 【4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点的距离为，求螳螂爬行的最短距离（π取3）． 二、将军饮马问题（共16小题） 5．（2022春·上海·七年级校联考期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？ 6．（2022秋·江苏·八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1． 【操作观察】（1）图1中，，． ①则_______； ②若，则_______； 【理解应用】（2）如图2，若，试说明：； 【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值． 7．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　 　），B1（　 　），C1（　 　）； （2）直接写出△ABC的面积为　 　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由． 解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′ ∵ ∠ACB＝90°（已知） ∴ 　 （垂直的定义） ∴ PB＝　 （线段垂直平分线的性质） ∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质） ∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′， 在△ABC和△AB′C中， ∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　） ∴ S△ABB′＝S△ABC+ 　 ＝2S△ABC（全等三角形面积相等） ∵ S△ABB′＝AB﹒B'D＝×10×B′D＝5B′D 又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48 ∴ 　 （同一三角形面积相等） ∴ B′D＝ ∴ 　 　 9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形； （2）求PD+PQ+QE的最小值． 10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值． 11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、、，点、分别是直线和轴上的动点，求周长的最小值． 12．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子． (1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴． (2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标． 13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，、，点是轴上的动点，过点作垂直直线于点，连接、，求的最小值及此时点的坐标． 14．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列