专题07 将军饮马与蚂蚁爬行问题（考点清单，2考点2种题型）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题07 将军饮马与蚂蚁爬行问题（考点清单） 考点一 将军饮马问题 【考试题型1】将军饮马问题 【解题方法】模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。问如何行走才能使总的路程最短。 模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法： 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法： 模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 方法： 模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 方法： 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。 模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法： 模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法： 模型五、模型六的理论依据：垂线段最短。 模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法： 模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法： 模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边。 模型九 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。 方法： 模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？ 方法： 模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。 方法： 模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短。 【典例1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）．A． B． C． D． 【专训1-1】（2022秋·广东韶关·八年级校考期中）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________． 【专训1-2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______． 【专训1-3】（2022春·浙江台州·八年级校考开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____． 【专训1-4】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°． 【专训1-5】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【专训1-6】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，，两个村庄在河的同侧，两村庄的距离为千米，，它们到河的距离分别是1千米和3千米，为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河边上修建一水厂向，两村输送水．    (1)在图上作出向，两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需30万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【专训1-7】（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小． (1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置； (2)证明这时最小． 【专训1-8】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取