专题2.3 勾股定理中的经典题型（十大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题2.3勾股定理中的经典题型（十大题型） 重难点题型归纳 1.最短路径问题与翻折问题 【题型1 与长方形有关的最短路径问题】 【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型3 与台阶有关的最短路径问题】 【题型4将军饮马与最短路径问题】 【题型5几何图形中翻折、旋转问题】 2. 实际应用 【题型1 梯子滑落问题】 【题型2 树枝旗子折断问题】 【题型3 航海是否有影响问题】 【题型4 风吹荷花问题】 【题型5垂美四边形问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 垂美四边形 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型1 与长方体有关的最短路径问题】 【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）cm． A．10 B．50 C．10 D．70 【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm 【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A．5 B．25 C． D．35 【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（　　） ​ A． B．5cm C．4cm D． 【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（　　）厘米． A．8 B．10 C．12 D．13 【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A．cm B．4cm C．cm D．5cm 【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】 【典例2】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（　　） A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm 【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（　　） A．52cm B．30cm C． D．60cm 【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（　　）m． A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.5 【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在