第3.2.2讲 函数的奇偶性-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念和性质 第3.2.2讲 函数的奇偶性 一、学习目标 1．结合具体函数，掌握奇函数、偶函数的定义，培养数学抽象素养． 2．理解奇函数、偶函数的图像特征，并学会运用函数奇偶性研究函数的有关性质，提升直观想象素养． 3．了解一般函数的对称性(对称轴、对称中心)，提升逻辑推理素养． 4．掌握函数奇偶性与单调性的关系，发展逻辑推理素养． 5．能研究简单函数的性质，并能作图像，提升直观想象素养． 二、重点难点 1、函数奇偶性的判断 2、奇函数、偶函数的图像问题 3、利用函数的奇偶性求值或解析式 4、奇偶性和单调性的综合应用 三、核心知识 　偶函数 1．对于函数y＝x2，分析x与－x所对应的函数值关系，说明函数的图像为何关于y轴对称？ 提示：任取x∈R，都有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，而点(x，f(x))与点(－x，f(x))关于y轴对称，所以函数y＝x2的图像关于y轴对称． 2．对于函数f(x)，若在定义域内有f(－1)＝f(1)，能否说明函数f(x)是偶函数？ 提示：不能．必须是在定义域内任意的x都有f(－x)＝f(x)成立，才能说明函数f(x)是偶函数． 1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． 2．偶函数的图像特征：其图像关于y轴对称． 函数f(x)为偶函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于y轴对称． 1．偶函数定义域的特点：由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以偶函数的定义域关于原点对称． 2．偶函数是相对定义域而言的整体性质，若定义域内有个别x0满足f(－x0)＝f(x0)，则f(x)未必是偶函数． 3．若函数f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(|x|)． 　奇函数 1．一般地，若函数y＝f(x)的图像关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？ 提示：若函数y＝f(x)的图像关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图像关于原点对称． 2．已知函数f(x)的定义域为(－2，2)．且f(－1)＝－f(1)．那么这个函数是奇函数吗？ 提示：不一定，仅f(－1)＝－f(1)不能判定f(x)为奇函数． 1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 2．函数f(x)为奇函数的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于原点对称． 1．同样奇函数的定义域的特点是关于原点对称． 2．若奇函数的定义域为D，且0∈D，则f(0)＝0. 三、核心例题 题型1 函数奇偶性的判断 1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 5．函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 题型2 奇函数、偶函数的图像问题 6．已知是偶函数，其部分图象如图所示，则的图象是（    ） A． B． C． D． 7．根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是偶函数，且在上单调递减，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各图中，表示以为自变量的奇函数的图象是（ ） A． B． C． D． 题型3 利用函数的奇偶性求值或解析式 11．已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 12．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 13．已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 15．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型4 奇偶性和单调性的综合应用 16．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 17．函数是定义在上的偶函数，且增函数，若对任意，均有，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 18．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，