第3.2.1讲 函数的单调性与最大（小）值-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念和性质 第3.2.1讲 函数的单调性与最大（小）值 一、学习目标 1．理解函数单调性的含义，掌握利用定义证明函数的单调性的方法，培养逻辑推理核心素养． 2．能够利用定义或图像求函数的单调区间，能够利用函数的单调性解决有关问题，培养直观想象和数学运算核心素养． 3.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，培养数学抽象素养． 4．了解直线的斜率概念，掌握函数的平均变化率概念并能简单应用，提升直观想象、逻辑推理素养． 二、核心知识 　增函数、减函数的定义 1．根据下面的图像探究下列问题． (1)图①中任取x1，x2∈I，当x1＜x2时f(x1)与f(x2)的大小关系如何？图②呢？ (2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？ (3)若函数y＝f(x)在I上是增函数，I1⊆I，则y＝f(x)在I1上是什么函数？ 提示：(1)由图①可知函数y＝f(x)图像随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)．图②中函数y＝f(x)图像随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)． (2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数． (3)增函数． 2．函数y＝f(x)的定义域为D，I⊆D，任意x1，x2∈I且x1≠x2都有＞0，你能说f(x)在I上一定是增函数吗？ 提示：能．因为当x2＞x1时都有f(x2)＞f(x1)；当x2＜x1时都有f(x2)＜f(x1)． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)． (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在M上单调递减). 函数 增函数 减函数 图示 　函数的单调性与单调区间 1．单调函数一定有单调区间吗？ 提示：不一定．有些函数没有单调区间或者它的定义域根本就不是区间．如y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}． 2．“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗？区别是什么？ 提示：意义不同．单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义． 知识点三　函数的最大(小)值 1.观察函数f(x)＝x2－1的图像，你能说出该函数的最小值吗？并说明理由． 提示：该函数的最小值为－1.因为对任意的x，都有f(x)≥f(0)＝－1. 2．不等式x2＞－1一定成立吗？－1是不是函数f(x)＝x2的最小值？ 提示：不等式x2＞－1一定成立．－1不是函数f(x)＝x2的最小值，因为不存在实数x使x2＝－1. 　一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作fmax＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作fmin＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的所有元素，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立． 三、核心例题 题型1 利用函数图像确定单调区间 1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．是函数的增区间 B．是函数的减区间 C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数 2．函数，的图象如图所示，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型2 用定义法证明(判断)函数的单调性 4．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 5．下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型3 函数单调性的应用 7．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 图像法求函数的最值 10．函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（    ）