专题03 不等式（6大考点16种题型）（考点清单）-2023-2024学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 不等式（考点清单） 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 3、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 3、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 4、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 5、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 01 不等式的基本性质 【考试题型1】用不等式的性质判断真假 【解题方法】不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解． 【典例1】（2023·北京·高一校考期中）已知，那么下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【专训1-1】（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷德科在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首先使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【专训1-2】（2023·湖北孝感·高一应城市第一高级中学校联考阶段练习）设，给出下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的结论的序号为（    ） A．（1）（2） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3） 【考试题型2】证明不等式 【解题方法】1．不等式证明的实质是比较两个实数（代数式）的大小； 2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导． 【典例2】（2023·河南·高一阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【专训2-1】（2023·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）（1）设，，.试比较P与Q的大小； （2）已知，证：. 【专训2-2】（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【考试题型3】利用不等式的性质求范围 【解题方法】求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘（同正）不可除． 【典例3】（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取