第4章 图形的相似（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第4章 图形的相似（压轴题专练） 题型01：相似三角形的解答证明题 1．在中，为边上一点．    (1)如图1，若，求证：． (2)若为的中点，， ①如图2，若，，求的长； ②如图3，若，，直接写出的长． 2．已知：在中，，点E是的中点，F是直线上一点，连接，将沿着折叠，点C的对应点为D，连接．    (1)如图1，若点D在线段上，求证：； (2)如图2，与交于点M，连接，若，求证：点M是的中点； (3)如图3，点F在延长线上，与交于点M，交于点N，若，，求． 3．在中，，在中，，且．    (1)如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系； (2)当时，绕点C逆时针旋转到如图2的位置，时，试猜想线段三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)当时，绕点C逆时针旋转到如图3的位置，时，请直接写出线段三条线段之间的数量关系． 4．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．    【特例探究】 (1)如图，当，时，______，______； 如图，当，时，______，______； 【归纳证明】 (2)请你观察（）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论． 【拓展证明】 (3)如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长． 题型02：相似三角形在特殊平行四边形中的应用 5．已知四边形是菱形，，．    (1)如图1，P是上一点，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，若，①求的长；②求的长； (2)如图2，M是的中点，连接，过点M作交的延长线于点N，点Q在上，连接，分别过点B，N作直线的垂线，垂足分别为G，H，若，求的长； (3)如图3，J为上一点，L为上一点，，分别过点J，L作，的平行线，两条直线交于点K，将四边形绕点B顺时针旋转，如图4，直线交直线于点R，求的值及的度数． 6．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．    7．综合与实践    (1)【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角； (2)【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点． 度； 若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长． 8．在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作BF⊥AC于点G，交直线于点F．    (1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．如图1，则线段与之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　； (2)如图2，若点E在线段上，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接．判断线段与之间的数量关系与位置关系，并证明； (3)如图3，若点E在线段的延长线上，F在线段的延长线上，且，，M是中点，连接，，求的值． 题型03：相似三角形与平面直角坐标系 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．    (1)求和的值； (2)当与中的一个角相等时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积． 10．如图1，已知直线交x轴于，交y轴于B．    (1)直接写出k的值为_________；B点坐标为_________； (2)如图2，过点的直线与交于点P，点Q为射线上一动点，若点Q到直线的距离为，求点Q的横坐标t的值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求点N坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．    (1)当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） (2)若点， ①求的长； ②连接对角线交直线于点，求的长； (3)如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接．将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 12．如图所示，直线与轴相交于点，与y轴相交于点B，将沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．