专题20 圆的轨迹问题4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题20 圆的轨迹问题4种常见考法归类 一、5种定义形式的圆 1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合. 数学语言描述为：在平面内，，其中M为动点，A为定点，为定值. 2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于轴的直线与曲线的交点）. 数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点.且点M的横坐标不等于A，B的横坐标. 3、 “平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合. 数学语言描述为：在平面内，，其中M 为动点，A，B为定点，λ为定值. 注：若，则点M的轨迹方程为，此时. 4、 “向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合. 数学语言描述为∶在平面内，，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值 注：若，则点M的轨迹方程为，此时. 特别地,若A，B为定点，且，则点M的轨迹是以AB为直径的圆 拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、 “比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：，其中M为动点，A，B为定点，为定值，>0且≠1. 注：当时，M的轨迹是线段AB的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系： （1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解. 二、注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别 1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程. 2、求轨迹方程后要检验 求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系. 3、 求圆的轨迹方程的常用方法 直接法 直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明. 注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。 （3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件 相关点代入法 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。 1、 求谁设谁，设所求点坐标为 2、 所依赖的点称之为“参数点”，设为或，等 3、 “参数点”满足某个（些）方程，可供代入 4、 寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。 5、 代入方程，消去参数值 注：已知圆上有一动点，求与该动点有关的动点轨迹方程也是常见的题型，这类问题的解法相对比较固定，都是寻找所求动点坐标与圆上动点坐标之间的关系求解的。 定义法 1、若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求． 2、运用定义法求轨迹方程的一般步骤为∶ （1）定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义； （2）定位，即研究动点轨迹的中心位置、焦点所在的轴等等； （3）定方程，即用待定系数法求轨迹方程； （4）检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性. 几何法 1、利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径 2、三角形中的几何性质 其中最常用到的几何性质有：直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等. 3、四边形中的几何性质 对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直接法求轨迹 （1）“斜率圆” 1.动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 2．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________. 5．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________. 6．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（       ） A． B． C． D． （2）“向量圆” 7．已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 . 8．已知、两定点．若动点满足，求动点的轨