专题19 与圆有关的最值问题12种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题19 与圆有关的最值问题12种常见考法归类 1、圆的最值问题 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为： 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 2、圆的最值类型： （1）圆上动点到定点距离的最值问题 圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于. 圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于. （2）圆上动点到定直线的距离的最值问题 圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径. （3） 圆的切线长最值问题 从圆外任一点向圆引两条切线，圆心C,两切点A,B,我们把线段PA,PB的长度叫做切线长，设圆的半径为r,则有： ①切线长的计算：，当半径给定，切线长最小等价于最小， ②过圆外一点P向圆引两条切线，切点记为A、B,则四边形面积的最值等价于求圆心到点P的距离最值。 （4）由直线与圆的位置关系求距离的最值 （5）过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题） 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦，弦长为. （6）与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： ①形如u＝的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解． ②求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是： 1）数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值； 2）把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值. ③求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解. （7）圆中与角度有关的最值问题 ①圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆处一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大. ②圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大. ③圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大。 （8）利用对称性求最值 形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 注：三角不等式(将军饮马):任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线. 如图，动点P为直线上一点，A、B为直线一侧的两个定点，那么PB-PA的最大值当且仅当P、A、B三点共线.倘若A.B在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值，此时，PB-PA的最小值为0,即P为AB中垂线与的交点. 总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧” （9）阿波罗尼斯圆的逆用 已知圆上任意一点P和坐标轴上任意两点A、B,求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算. （10） 圆有关的平行线束最值问题 两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题 考点二 圆上动点到定直线的距离的最值问题 考点三 圆的切线长最值问题 考点四 直线与圆的位置关系求距离的最值 考点五 与圆的弦长有关的最值问题 考点六 与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 （一）斜率型最值问题 （二）截距型最值问题 （三）距离型最值问题 （四）综合应用 考点七 利用三角换元求最值 考点八 圆中与角度有关的最值问题 考点九 利用对称性求最值 考点十 阿波罗尼斯圆的逆用 考点十一 圆有关的平行线束最值问题 考点十二 利用圆的方程构建函数求最值 考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题 1．（2023秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）在中，，，，动点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值为 . 2．（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知点，是圆上的动点，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·广东