专题18 直线和圆的对称问题8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题18 直线和圆的对称问题8种常见考法归类 一、直线的对称问题 1．中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称： 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解． (2)直线关于点的对称，主要求解方法是： ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： ①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． （关键词：垂直、平分） 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. ②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标 (2)直线关于直线的对称： ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．　　　 二、圆的对称问题 1．圆的轴对称性 圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 点关于点对称问题 考点二 点关于直线对称问题 考点三 直线关于点对称问题 考点四 直线关于直线对称问题 考点五 根据对称性求最值 考点六 将军饮马问题 考点七 圆的对称问题 （一）圆的轴对称性 （二）圆关于点对称 （三）圆关于直线对称 考点八 与圆的对称有关的最值问题 考点一 点关于点对称问题 1．（2023·高二课时练习）点P关于点M对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据对称中心的概念以及中点坐标公式即可求解. 【详解】解：由题意得： 设对称点的坐标为 ，解得： 所以对称点的坐标为 故答案为： 2．（2023·全国·高二专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【详解】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 3．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 考点二 点关于直线对称问题 4．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 . 【答案】 【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【详解】设对称点，线段中点为， 则，解得， 点关于直线的对称点坐标为. 故答案为：. 5．（2023秋·高二课时练习）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点坐标为，然后由斜率乘积等于，和的中点在直线上，列方程组可求得结果. 【详解】设的对称点坐标为， 则，解得， 即所求对称点的坐标是． 故答案为： 6．（2023·全国·高二专题练习）若点关于直线对称，则 ； ． 【答案】 4 2 【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点， 于是，整理得，解得， 所以. 故答案为：4；2 7．（2023秋·辽宁大连·高二大连市红旗高级中学校考期中）已知点P(－1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】x＋y－4＝0 【解析】先利用两点之间的斜率公式求解直线PQ的斜率，再利用已知条件得到直线l的斜率k2＝－1，利用中点坐标公式求解线段PQ的中点坐标，最后利用点斜式求解即可. 【详解】∵直线PQ的斜率k1＝1， 由点P(－1，1)与点Q(3，5)关于直线l对称， ∴直线l的斜率k2＝－1， 又线