专题16 直线与圆的位置关系8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题16 直线与圆的位置关系8种常见考法归类 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系及图形表示 关系 相交 相切 相离 图形 由上表可知，当直线与圆相交时，有两个公共点；当直线与圆相切时，只有一个公共点；当直线与圆相离时，没有公共点． （2）直线与圆的位置关系的判断方法 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法． ①代数法(判别式法)：将直线和圆的方程联立得到一个关于x，y的二元二次方程组，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线和圆相交(有两个公共点)； Δ＝0⇔直线和圆相切(有一个公共点)； Δ<0⇔直线和圆相离(无公共点)． ②几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则 d<r⇔直线和圆相交(有两个公共点)； d＝r⇔直线和圆相切(有一个公共点)； d>r⇔直线和圆相离(无公共点)． 即有 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 2 1 0 代数条件 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 几何条件 d<r d＝r d>r 通常优先选择用几何方法判断直线与圆的位置关系． 注：“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系优势： “代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质． 3、圆的切线问题 （1）自一点引圆的切线的条数 ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线． 注：过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条． （2）切线方程的几个重要结论 ①经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. ④已知圆x2＋y2＝r2的切线的斜率为k，则圆的切线方程为y＝kx±r. （3）切线长公式 过圆外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，则切线长为＝. （4）切点弦方程 过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)引圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2. 4、圆的弦长问题 设直线l的方程为y＝kx＋b，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法有以下两种： (1)几何法：如图所示，过圆心O作l的垂线，由圆的性质知垂足G为线段EF的中点．在Rt△OGF中，|GF|2＝r2－d2，则弦长|EF|＝2|GF|＝2. (2)代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)． ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解． ②将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则有： |EF|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|EF|＝ ＝|y1－y2| ＝. 通常把|EF|＝|x1－x2|或|EF|＝|y1－y2|叫做弦长公式． 5．解决此类问题的关键是理解直线与圆的位置关系和直线与圆的公共点的个数间的等价关系． 6．判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：代数法(判别式法)和几何法．代数法将直线与圆的公共点个数问题转化为一元二次方程根的个数问题，利用判别式加以判断，往往计算量比较大，但它是判断直线与圆的位置关系的通用方法；几何法是结合几何图形，充分利用圆的几何性质，将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系，是判断直线与圆的位置关系的一般方法． 注：直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 7、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 8、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜