专题09 立方根重难点题型专训（六大题型）-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题09 立方根重难点题型专训（六大题型） 【题型目录】 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 【知识梳理】 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 1．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 2．（2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考阶段练习）已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 3．（2023·全国·九年级专题练习）若，，则 ． 4．（2023春·福建厦门·七年级统考期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的： （1）由，，确定立方根是位数． （2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是． （3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为． 请你仿照以上的方法，计算 ． 5．（2023春·广西南宁·七年级校考期末）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9． 第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，， 所以， 所以即的十位数字是3． 所以． 请根据上述材料解答下列问题： (1)用上述方法求4913的立方根的个位数字． (2)求的值，要求写出计算过程． 【经典例题二 求一个数的立方根】 1．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·广西防城港·七年级统考期末）若，的值为（　　） A．2 B． C． D．4 3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，，= ． 4．（2023春·全国·七年级专题练习）定义新运算：对任意实数a、b，都有，例如，，那么= ． 5．（2023春·云南昆明·七年级云南师范大学实验中学校考期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（　　） A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0 3．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）若实数a＋5的一个平方根是，b的立方根是，则2a＋b的值是 ． 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，则的值是 ． 5．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）阅读下面的对话，解答问题． 小红：是无理数，是无限不循环