3.3 幂函数（九大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：求函数解析式 题型三：定义域问题 题型四：值域问题 题型五：幂函数的图象 题型六：定点问题 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 题型八：比较大小 题型九：幂函数性质的综合运用 【知识点梳理】 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【典型例题】 题型一：幂函数的概念 例1．（2023·陕西咸阳·高一统考期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．（2023·高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一课堂例题）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 题型二：求函数解析式 例4．（2023·黑龙江佳木斯·高一校考期中）已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 例5．（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图象经过点，则f等于（　　） A．4 B．2 C． D． 例6．（2023·全国·高一专题练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．0 变式4．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B．4 C． D．8 变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·河南南阳·高一盐城市大丰区南阳中学校考期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 题型三：定义域问题 例7．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 例8．（2023·高一课时练习）幂函数的定义域是 ． 例9．（2023·高一课时练习）幂函数的定义域为 ; 变式7．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的定义域为，则实数 ． 变式8．（2023·高一课时练习）已知幂函数 f (x) = xα 满足 f (3) = ，则该幂函数的定义域为 . 变式9．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的定义域是 ． 变式10．（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，