第03讲 垂径定理（选学）（7类题型）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 垂径定理（选学）（7类题型） 课程标准 学习目标 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 知识点01：圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 （3）垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 题型01 垂径定理的概念 1．（2023春·黑龙江大庆·九年级大庆外国语学校校考阶段练习）下列命题是假命题的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 2．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）用准确的文字语言描述“垂径定理”：垂直于弦的直径平分 ． 3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 题型02 垂径定理的推论 1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法中正确的个数有（） ①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知在半圆中，，，，求的长． 题型03 利用垂径定理求值 1．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，的半径为5，弦，，垂足为点P，则CP的长等于（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．          3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 题型04 利用垂径定理求平行弦问题 1、（2021春·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ ) A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 2．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 3．（2021春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． 题型05 利用垂径定理求同心圆问题 1．（2023春·九年级课时练习）已知