专题1.12 全等三角形作辅助线方法（截长补短）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.12 全等三角形作辅助线方法（截长补短） （分层练习）（综合练） 【知识与方法】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短． 1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 3、截长法与补短法：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用. 一、填空题 1．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 2．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ． 3．如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）． 二、解答题 4．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 5．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    6．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    7．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． (1) 求的度数； (2) 若，，求的长． 8．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1) 求∠APC的度数； (2) 若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 9．如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 12．如图在中，，、分别是、的平分线，、相交于点． （1）请你判断并写出与之间的数量关系； （2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 13．如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，． 求证：． 14．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 15．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． (1)请完成下题的证明过程： 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC． 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE． (2)如图，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 16．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 17．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 18．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD． (1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长； (2)求证：AB＝DG+FC． 19．在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案） (2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF