专题1.11 全等三角形几何模型（半角模型）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.11 全等三角形几何模型（半角模型）（分层练习）（综合练） 【知识与方法】 半角模型定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型 。 半角模型主要结论： 半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。 即如图中，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC和CD边上，满足∠EAF=45°，连接EF，则有：EF=BE+DF。 证明： 【证法一】（旋转法） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°； 将△ADF绕点A旋转至△ABF'的位置（F的对应点为F'），则△ADF≌△ABF'， ∴∠BAF'=∠DAF，BF'=DF，AF=AF'； ∴∠EAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF， 易证△AEF≌△AEF'(SAS)， ∴EF=EF'=BF'+BE=DF+BE， 即EF=BE+DF。 【证法二】（截长补短法） 延长CB至点F'，使BF'=DF，连接AF'。 易证△ADF≌△ABF'(SAS)， ∴AF=AF'，∠BAF'=∠DAF， ∴∠EAF'=∠BAE+∠BAF'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF， 则△AEF'≌△AEF(SAS)， ∴EF=EF'=BF'+BE=BE+DF， 即EF=BE+DF。 （注：若延长CD至点E'，使DE'=BE亦可，证法类同） 一、单选题 1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 2．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 二、填空题 3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 4．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为 ． 5．在中，，点在边上，．若，则的长为 ． 6．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为 ． 三、解答题 7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 8．如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 9．如图所示：已知中，，在内部作分别交 于点 [操作]（1）将绕点逆时针旋转，使边与边重合，把旋转后点的对应点记作点，得到，请在图中画出;(不写出画法) [探究]（2）在作图的基础上，连接， 求证： [拓展]（3）写出线段和之间满足的数量关系，并简要说明理由． 10．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：①∠BEA =∠G，② EF=FG． （2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 11．已知，如图所示，正方形中，，分别在边，上，且，，分别交于，，连，求证： ①    ②. 12． （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD． （2） 请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12， E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？ 13．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 14．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．