第3章 函数的概念与性质 板块综合融会 函数性质的综合应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

板块综合融会　函数性质的综合应用(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质，通过学习，学生利用函数图象去研究函数的性质，学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值，发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养． 2．渗透的数学思想 (1)在解决与函数性质有关的问题时，常利用函数的图象来解决，即利用数形结合的思想方法，将问题化难为易、化抽象为具体． (2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定，需要应用分类讨论的思想方法，把整个问题划分为几个部分逐一解决，最后合并为一种结果． (3)函数、方程与不等式密切相关，相互转化，在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时，一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决，即应用转化与化归、函数与方程的思想方法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 融通点(一)　利用函数单调性与奇偶性比较大小 [典例1]　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N＋时，有(　 ) A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1) B．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1) C．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1) D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n) [解析]　∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0， ∴若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)>0，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)， 若x2－x1<0，则f(x2)－f(x1)<0，即若x2<x1，则f(x2)<f(x1)， ∴函数在(－∞，0]上为单调递增函数． ∵f(x)在R上是偶函数，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，f(－n)＝f(n)． ∵n∈N＋，∴n＋1>n>n－1≥0， ∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)， 即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)，故选B. [答案]　B [方法技巧] 利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 [针对训练] 1．已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　 ) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) 解析：选B　∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在R上单调递增．∴f(－1)<f(－0.5)<f(0)． 2．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式成立的是(　 ) A．f<f(－3)<f(4) B．f(－3)<f<f(4) C．f(4)<f(－3)<f D．f(4)<f<f(－3) 解析：选D　法一：∵f(x)为偶函数，∴f(－4)＝f(4)．又f(x)在(－∞，－2]上为增函数，∴f(－4)<f<f(－3)，即f(4)<f<f(－3)． 法二：∵f(x)为偶函数，且在(－∞，－2]上为增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上为减函数，其图象关于y轴对称．又|4|>>|－3|，∴f(4)<f<f(－3)． 融通点(二)　利用函数奇偶性与单调性解不等式 [典例2]　(1)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　 ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] (2)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________． [解析]　(1)∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∴－1≤x－2≤1.解得1≤x≤3.故选D. (2)作出f(x)的大致图象如图所示．不等式(x－1)f(x)≤0可化为或 由图可知符合条件的解集为 {x|x≤0或1<x≤2}． [答案]　(1)D　(2){x|x≤0或1<x≤2} [方法技巧] 利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略 (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； (2)根据奇函数在对称