3.2.2 函数的奇偶性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

3．2.2　函数的奇偶性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法． 3．会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题． 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数 关于原点对称 微点助解 对函数奇偶性的理解 (1)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． (2)函数奇偶性的三个关注点 ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数． (3)利用性质判断函数的奇偶性 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [基点训练] 1．判断正误： (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　 ) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 ) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　 ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　 ) 解析：选B　B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性． 3．下列函数是偶函数的是(　 ) A．y＝x B．y＝3x2 C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1]) 解析：选B　选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数． 4．已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：选C　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 题型(一)　函数奇偶性的判断 [典例]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ [解]　(1)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}， 关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)． 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]， 即有－1≤x≤1且x≠0，所以－1≤－x≤1，且－x≠0. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． [方法技巧]　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 [针对训练] 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解：(1)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)函数f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． 题型(二)　奇、偶函数的图象及其应用 [典例]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． 　　　　 (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在