3.2.1 函数的单调性与最值（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

3.2.1　函数的单调性与最值 第 1 课时　函数的单调性及其应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性． 3．理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性． 4．能应用函数的单调性解决一些简单问题． 1．增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D 条件 ∀x1，x2∈I，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增 称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减 微点助解 对增函数与减函数定义的理解 (1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1. (2)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的，显然I⊆D. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减． 2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 微点助解 (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调减区间(－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． (2)若函数y＝f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增加(减少)的，一般不认为y＝f(x)在区间A∪B上一定是增加(减少)的．如：函数f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，在区间(0，＋∞)上也是减少的，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的． (3)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点． [基点训练] 1．判断正误： (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增．(　 ) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　 ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增．(　 ) (4)若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　 ) A．y＝2x＋1　　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 答案：ABD 3.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是______． 答案：[－3,1] 4．函数f(x)＝－x2＋x－1的单调递增区间为________． 答案： 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [典例]　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减． [证明]　设∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为2<x1<x2， 所以x2－x1>0，x>4，x>4. 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减． [方法技巧] 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 [针对训练] 　试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [典例]　画出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． [解]　画出函数f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)． [方法技巧]　图象法求函数单调区间的步骤 作图 作出函数的图象 结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间 [针对训练] 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间． 解：由题意，得y＝|x|(x－2) ＝ 函数的图象如图实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0)和[1，＋∞)，单调递减区间为[0,1)． 题型(三)　函数单调性的简单应用 [典例]　已知函数f