3.1.3 简单的分段函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

3.1.3　简单的分段函数(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象． 2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题． 1．分段函数的定义 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象． 4．几种常见的分段函数 (1)取整函数：f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)． (2)符号函数：f(x)＝sgn x＝ (3)含绝对值符号的函数：如f(x)＝|x－1|＝ (4)自定义函数：如f(x)＝ 题型(一)　分段函数的图象及应用 [典例]　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时， f(x)＝1＋＝1. 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. ∴f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [变式拓展] 　把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解． 解：由题易得f(x)＝|x|－2＝ 作出函数的图象如图所示． 由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)． [方法技巧] 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　 [针对训练] 　已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1,2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象； (3)根据图象写出函数f(x)的值域． 解：(1)当－1≤x<0时，[x]＝－1， 所以f(x)＝x＋1； 当0≤x<1时，[x]＝0，所以f(x)＝x； 当1≤x<2时，[x]＝1，所以f(x)＝x－1. 综上，f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0,1)． 题型(二)　分段函数求值问题 [典例]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． [解]　(1)f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2，f＝－＋1＝－，f＝f＝2＋2×＝－. (2)①⇒a∈∅. ②⇒a＝1. ③⇒a＝. 综上，实数a的值为1或. [方法技巧]　分段函数求值问题的解题思路 求函数值 当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A　由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论： 当a>0时，f(a)＝2a， 由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去； 当a≤0时，f(a)＝a＋1， 由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意． 2．函数f(x)＝则f(7)＝________. 解析：∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8. 答案：8 题型(三)　分段函数的实际应用问题 [典例]　某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额． [解]　设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元，则y＝ 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40. ∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60. 解得x＝1 000. ∴1 000－60＝940.故此人购物实际所付金额为940元． [方法技巧] 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件，将文字语言转化为数学语言；