3.1.1 对函数概念的再认识（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

　第3章　函数的概念与性质 3.1.1对函数概念的再认识(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的定义域、值域、对应关系． 1．函数的概念 概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B) 三要素 x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．值域是集合B的子集 微点助解 对函数概念的理解 (1)集合A，B必须是数集，不能是点集或其他集合，即函数研究的对象是数． (2)集合A，B必须是非空的．如y＝＋就不是函数． (3)对应具有方向性与唯一性．方向性是指对应是从集合A到集合B，唯一性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应．如y2＝x，y＝x±1不表示函数，因为它们都不满足对应的唯一性． 2．两函数相等 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数． 微点助解 关于同一个函数的几点说明 (1)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，所以两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f(x)＝x2，x∈A与函数u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数． (2)f(x)＝x2和f(x－1)＝x2由于对应关系f所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数． (3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系．如函数f(x)＝x2，x∈[0,2]和函数g(x)＝2x，x∈[0,2]，它们的定义域相同，都是[0,2]，值域也相同，都是[0,4]，但它们不是同一个函数． [基点训练] 1．判断正误： (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　 ) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　 ) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　 ) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)＝，则f等于(　 ) A.　　　 B.　　　 C．a　　 D．3a 解析：选D　f＝＝3a. 3．已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2； ②f(x)＝x，g(x)＝； ③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)； ④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　 ) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解析：选C　对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同． 4．函数y＝的定义域是__________________． 解析：由题意可得所以x≥－1且x≠1， 故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}． 答案：{x|x≥－1且x≠1} 题型(一)　函数概念的理解 [典例]　(1)已知集合A＝[0，＋∞)，B＝[1，＋∞)，下列对应关系中是从A到B的函数为(　 ) A．f∶x→y＝x B．f∶x→y＝x2 C．f∶x→y＝2x D．f∶x→y＝2x＋2 (2)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　 ) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x，g(x)＝ C．f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N) D．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1 [解析]　(1)对于A，B，C，在对应关系f中，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，故A，B，C错误；对于D，在对应关系f：x→y＝2x＋2中，因为x∈[0，＋∞)，所以y∈[2，＋∞)⊆[1，＋∞)，则集合A中任意一个元素x在集合B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合A到集合B的函数，故D正确． (2)对于A，定义域不同；对于C，定义域、对应关系都不同；对于B、D，定义域与对应关系都相同． [答案]　(1)D　(2)BD [方法技巧] 1．判断一个对应关系是否为函数的方法 2．判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要