2.3.2 一元二次不等式的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

第 2 课时　一元二次不等式的应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法． 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． (一)简单的分式不等式的解法 微点助解 常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)<0⇔f(x)·g(x)<0； (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0； (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. [基点训练] 1．不等式<0的解集为________． 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 答案：{x|1<x<2} 2．不等式≤1的解集为________． 解析：∵≤1，∴≥0，∴ ∴x≥1或x<0. 答案：{x|x≥1或x<0} (二)一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 微点助解 (1)当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 [基点训练] 1．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝a2－4<0，所以－2<a<2. 答案：(－2,2) 2．对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝22－4m<0，所以m>1. 答案：(1，＋∞) 题型(一)　简单分式不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. [解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0， 即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0， 解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. [方法技巧]　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [针对训练] 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 解：(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 [典例]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． [解]　若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则 解得－4<m<0. 综上，m的取值范围为(－4,0]． [变式拓展] 1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由：显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时，由题意可得解得m∈∅，所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0. 2.在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈[2,3]”，其余不变，求m的取值范围． 解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈[2,3]，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. [方法技巧] 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．　　 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 [典例]　某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)