2.3.1 一元二次不等式及其解法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

2.3　一元二次不等式 第 1 课时　二次函数与一元二次方程、不等式(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． (一)一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 [基点训练] 判断正误： (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　 ) (2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式．(　 ) (3)不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (二)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 微点助解 (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． [基点训练] 1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　 ) A. B. C．∅ D．R 解析：选D　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　 ) A. 　　 B. C. 　　 D．R 解析：选C　3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－. 3．若关于x的不等式－x2＋4x>2mx的解集为{x|0<x<2}，则实数m的值为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－2 解析：选B　根据题意x＝0和x＝2是方程－x2＋4x＝2mx的实数根，所以－4＋8＝4m，解得m＝1. 故选B. 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 　 　 图1　　　　 图2　　　　　图3 [方法技巧]　解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 解不等式－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. [方法技巧]　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判