2.2 从函数观点看一元二次方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

2.2　从函数观点看一元二次方程(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数． 2．了解函数的零点与方程根的关系． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次方程与相应函数的联系． 逐点清(一)　函数的零点 [多维度理解] 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不等的实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 2．二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． [细微点练明] 1．判断正误： (1)函数y＝x2－2x＋1的零点是(1,0)．(　 ) (2)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.(　 ) (3)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．3 解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2. 3．求下列函数的零点． (1)y＝4x2－25； (2)函数y＝ax2－bx－c的图象如图所示； (3)y＝x2－4x＋10. 解：(1)令4x2－25＝0，得4x2＝25. 两边都除以4，得x2＝，解得x1＝，x2＝－. 所以函数y＝4x2－25的零点为，－. (2)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3. 所以该函数的零点为－1和3. (3)令y＝x2－4x＋10＝0. ∵a＝1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8>0， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴函数的零点为2＋，2－. 逐点清(二)　一元二次方程根与系数的关系 [多维度理解] 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [细微点练明] 1．若方程x2－2x－1＝0的根为x1，x2，则x1x2－(x1＋x2)的值为(　 ) A．－3 B．1 C．2 D.－2 解析：选A　∵x2－2x－1＝0，即a＝1，b＝－2，c＝－1，∴x1x2＝＝－1，x1＋x2＝－＝2，∴x1x2－(x1＋x2)＝－1－2＝－3. 2．已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(　 ) A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1或3 解析：选A　根据题意得Δ＝[－(2m－1)]2－4m2≥0，解得m≤， ∵方程的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2， ∵(x1＋1)(x2＋1)＝3， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝3，即m2＋2m－1＋1＝3， 整理得m2＋2m－3＝0，解得m1＝－3，m2＝1， ∵m≤，∴m＝－3. 3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，∴Δ≥0， 即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤，即k的取值范围为. (2)由题知，x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3. ∵x＋x＝11，∴2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0，解得k＝4或k＝－1， ∵k≤，∴k＝－1. 逐点清(三)　二次方程根的分布问题 [典例]　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上． [解]　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意． ②当a>0时，设y＝ax2－2x＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， ∴解得<a<1. ③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．综上，a的取值范围为. [变式拓展] 若关于x的方程ax2－2x＋1＝0 至少有一个正根，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，方程变为－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意． (2)当a>0时， 解得a≤1，故0<a≤1. (3)当a<0时，因为当x＝0时，y＝ax