2.1.1 等式与不等式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

　 第2章　一元二次函数、方程和不等式 　　　　　　　　　　　　 2.1.1　等式与不等式 第 1 课时　不等关系与不等式(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 在具体问题中建立不等关系，要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等概念，重点掌握作差、作商、综合法等比较实数大小．比较大小在实际生活中的应用是学习的难点． 逐点清(一)　用不等式(组)表示不等关系 [多维度理解] 1. 不等关系与不等式 不等关系 不等关系常用不等式来表示 不等式 用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫做不等式 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 微点助解 (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”． (2)利用不等式表示不等关系的注意点 ①利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． ②在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一． [细微点练明] 1．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2 000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩n(n∈N＋)个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是(　 ) A．n>800 B．n>5 000 C．n<800 D．n<5 000 解析：选B　由0.8n＋2 000<1.2n，得0.4n>2 000，即n>5 000. 2．据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃，则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是(　 ) A．t≤13 ℃ B．t<13 ℃ C．t＝13 ℃ D．t>13 ℃ 解析：选A　∵明天白天的最高温度为13 ℃，∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃. 3．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为__________． 解析：每种邮票至少买两套，则有x≥2，x∈N＋，y≥2，y∈N＋，又因为50元钱买纪念邮票，所以0.8×5x＋2×4y≤50，故 答案： 逐点清(二)　实数(式)的比较大小 两个实数a，b比较大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 [典例]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1，∴x－1≤0.而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. [变式拓展]　 　把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. [方法技巧] 用作差法比较两个数(式)大小的步骤 作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤：①作差；②变形．变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；③定号，即确定差的符号；④下结论，写出两个数(式)的大小关系．　　 [针对训练] 　比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2； (2)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m与n的大小． 解：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)∵m－n＝＋－＝－＝＝.又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当且仅当x＝y时，等号成立)． 逐点清(三)　不等关系在实际问题中的应用 [典例]　(多选)甲、乙两名同学同时从教室步行到学校食堂就餐(路程相等)，甲前一半